Lyapunov eksponenten

26-02-2017 Eli Franzos L
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc

Lyapunov eksponenter for et dynamisk system i en skade pege et mål for hvor markant baner i systemet afhænger af de oprindelige data og er derfor indikatorer for tilstedeværelsen af ​​kaotiske dynamik. Hvad de måler er især gennemsnitshastighed på fjernelse af baner punkterne nær kredsløb om og for tilstrækkeligt lange tider. Mere præcist: til et punkt er forbundet med en række Lyapunov eksponenter lig med dimensionen af ​​rummet og hvis den maksimale Lyapunov eksponenten er og den euklidiske afstand mellem en nær punktet og er ganske lille, vil denne afstand har en udvikling i den tid, store tid vil være omkring. Vi konkluderer, at hvis den maksimale Lyapunov eksponenten af ​​systemet er positiv, så systemet har en følsom afhængighed af de oprindelige data, og er derfor kaotisk.

Dimensionelle kort

Definition

Og er en differentiabel funktion, og overveje den diskrete dynamiske system givet ved iteration af kortet.

Vi definerer Lyapunov eksponent for det punkt i kredsløb, der er så

eller ækvivalent som

hvor grænseværdien eksisterer.

Forklaring

For at forstå årsagerne bag denne definition vi fremsætte følgende bemærkninger:

1) derivat af et punkt fortæller den hastighed, hvormed punkterne nærmest at være flyttet væk efter én iteration: hvis den oprindelige afstand mellem to punkter nærmest det, efter anvendelse af dette bliver, nemlig;

2) produktet giver os derivatet ved punktet for iterationen, som fortæller os den hastighed, hvormed punkterne nærmest har bevæget sig væk efter iterationer, mere præcist, hvis den oprindelige afstand mellem to punkter tættest på det, efter anvendelse af denne bliver, eller

Vi kan skrive som

Ud fra disse observationer konkluderer vi, at hvis der findes grænsen for den mængde derefter i meget lang tid vil være havde, at afstanden mellem to baner i nærheden vokset med en multiplikationsfaktor omtrent lig med.

Flerdimensionelle kort

For en differentiabel kort og en dens bane du kan defineres Lyapunov eksponenter, der måler hastigheden for udskillelse fra kredsløb i ortogonale retninger, således at langs retningen th afstandene mellem punkterne i nærheden af ​​kredsløb udvikle såvel som store. Den første retning vil være den, hvor denne hastighed er maksimum, det andet vil blive valgt som den maksimale hastighed i sæt af ortogonale retninger til den første, og så videre. I de retninger, der er lineære kombinationer af de to retninger er forbundet med Lyapunov eksponenter forskellige adskillelse hastighed er stabilitet Lyapunov eksponenten større.

Definition

Vi definerer Lyapunov eksponenten i forbindelse med et punkt og en retning som hastigheden af ​​separationsmediet i et punkt tæt på bæreren, således at linjen har retning:

Efter afstanden mellem iterationer og som oprindeligt blev blev omtrent er den gennemsnitlige vækstrate for hvert trin givet ved hvor er den enhed vektor af retningen. Hvis vi betragter logaritmen kan vi sige, at systemet har udviklet sig således, at den oprindelige afstand er blevet. Men vi i gennemsnit over et endeligt antal skridt, hvis vi betragter hele bane, vi kan definere Lyapunov eksponent for den retning, som den eksponentielle vækst medium som følger:

Fra denne definition følger det, at hvis luftfartsselskabet har forbindelsesretningen derefter afstanden udvikler sig så stor.

På dette tidspunkt kunne man undre sig over hvad i virkeligheden værdien kan variere, når man overvejer forskellige retninger. Hvad det viser, at i virkeligheden kan antage højst en række værdier lig med dimensionen af ​​rum, og at næsten alle de punkter i rummet tager den samme værdi: den maksimale værdi.

Eksempel

Det er lærerigt at se, hvad der sker, når den lineære tilnærmelse forbliver den samme. Vi anser den diskrete dynamiske system givet ved iteration af kortet matrix med egenværdier.

På n'te trin vil vi have det, så den oprindelige afstand er blevet.

Hvis luftfartsselskabet nell'autospazio er forbundet med da.

Hvis luftfartsselskabet har en komponent, der ikke er forbundet med noget nell'autospazio så kan vi udtrykke som en lineær kombination

hvor er en ortonormalbasis af egenvektorer. Derfor

at få en idé om, hvad der er den gennemsnitlige faktor ekspansion for hvert skridt, vi kan beregne grænsen for det geometriske gennemsnit

at ovennævnte beregning er åbenbart lig. Så afstanden udvikle i lange perioder som. Det betyder, at alle de punkter nærmest til for hvilken transportøren har en sammenføjning komponent ikke har en hastighed langs intet asymptotiske gennemsnitlige adskillelse fra udelukkende bestemmes efter den største af egenværdierne for. Beregning Lyapunov eksponenten på grundlag af de forbindelser, der i løbet af det giver os
.

Med et lignende argument kan det vises, at hvis luftfartsselskabet er ortogonale sammenføjning all'autospazio sin maksimale egenværdi, men har en komponent ikke noget i forhold til den næststørste egenværdi så Lyapunov eksponenten tilknyttet denne retning. Mere generelt vil Lyapunov eksponenten i langs retningen gives af logaritmen af ​​den maksimale egenværdi tilknyttet en egenvektor med hensyn til hvilket ikke er ortogonale.

Intuitiv idé

For at se konceptet kan betragtes som en uendelig lille kugle omkring det punkt i kredsløb, dette efter hver iteration af kortet er deformeret til en ellipsoide opnået som billedet af kuglen ved at anvende lineær givet af Jacobian. Ellipsoiden giver os oplysninger om den lokale opførsel af kortet, navnlig om de retninger, hvor det krymper eller udvider mere plads. Denne ellipsoide er mulighed for at identificere hovedområder, der svarer til de retninger af sammentrækning eller udvidelse. Men ved hver iteration den lineære transformation er forskellige, og så også egenvektorer og egenværdier og derefter akserne og formen af ​​ellipsoide. Men Sætning Oseledec sikrer, at for næsten ethvert punkt virkningen af ​​lineære transformationer går differentialer, målt langs bane i gennemsnit tendens til at være asymptotisk svare til virkningen af ​​den samme matrix med egenværdier hvis logaritmer giver Lyapunov eksponenter og hvis egenvektorer giver retningerne af udvidelse og sammentrækning, svarende til akserne for en ellipsoide "medium".