Euler karakteristik

I matematik, og mere præcist i geometri og topologi, Euler kendetegn er et helt tal, der beskriver nogle aspekter af form som en topologisk rum. Det betegner almindeligt.

Euler karakteristik blev oprindeligt udviklet til polyedre og bruges til at bevise forskellige teoremer, herunder klassificeringen af ​​de platoniske legemer: Euler deltog aktivt i denne forskning.

I moderne matematik, Euler karakteristik, også kaldet Euler-Poincaré karakteristik, er defineret i en mere generel kontekst fra en homologi, indført af matematiker Henri Poincaré.

Polyedre

Definition

Euler karakteristik blev oprindeligt defineret for polyedre, med formlen

hvor V, S og F er henholdsvis antallet af knuder, kanter og flader på polyeder.

Rapport Euler

Rapporten hævder, at Euler

for alle polyedre "uden huller", eller blot tilsluttet. De konvekse polyedre falder i denne kategori.

Eksempler på konvekse polyedre

Eulers formel kan bruges til at vise, at der kun er fem platoniske legemer:

Formel definition

Komplekse celle eller Simpliciel

Et polyeder er et eksempel på en samling af celler eller Simpliciel kompleks: disse er særlige topologiske rum konstrueret af knudepunkter, kanter, vender 2-dimensionelle, 3-dimensionelle flader osv For disse rum Euler variabel er defineret blot som

hvor er antallet af ansigter n-dimensionelle.

Samme rum kan beskrives ved mange decompositions i celler eller Simpliciel anderledes, med værdier i området: det faktum betydelige, hvilket gør Euler karakteristiske vigtige i geometri, er, at mængden er imidlertid uafhængig af nedbrydning valg.

Topologiske rum

Endnu mere generelt kan man definere Euler-Poincaré karakteristisk for enhver topologisk rum med homologi: uden at gå i detaljer, er defineret som størrelsen af ​​den i'te gruppe af homologi, og derefter

Hvis topologisk rum ikke er for kompliceret, hver er faktisk en række, og er nul for alle n tilstrækkelig stor.

Ejendom

Euler kendetegn er en topologisk invariant: to topologiske rum homeomorphic har samme karakteristik. Dette er et meget stærkt resultat, hvilket indebærer så trivielle Eulers formel: konvekse polyedre er faktisk alle homeomorphic til todimensionale rum.

Funktionen er også invariant for Homotopiteori ækvivalens: to rum omotopicamente tilsvarende har samme karakteristik.

Hvis M og N er disjunkte topologiske rum, vi

Mere generelt, hvis M og N er underrum af et større rum, der ikke skærer så også kompliceret, følgende sammenhæng gælder

Euler karakteristik af et produkt af rum M × N er

Endelig, takket være de dybe sætninger vedrørende homologien, karakteristisk for en differentiable manifold ulige størrelse er nul.

Eksempler

Spaces kontraktile

Hver plads kontraktile, dvs. omotopicamente svarer til et punkt, har den samme Euler karakteristisk for det punkt, hvilket er 1, fordi det punkt har én Isse og 0 ansigter hver større dimension. Så den rette linje, planet, og hver euklidisk rum har Euler karakteristik 1

Overflader

Euler karakteristik af en overflade kan beregnes let ved hjælp af en opdeling i polygoner, og en optælling af antallet af knuder, kanter og polygoner. Euler karakteristik er fundamental i klassificeringen af ​​de invariante overflader.

Forrige artikel EFront
Næste artikel Emmitt Smith