Border

I topologi, grænsen eller omridset af en delmængde S af et topologisk rum X er lukningen af ​​de mindre dens indre. Et element af grænsen af ​​S kaldes grænsen punkt i S. notation bruges til at angive grænsen af ​​et sæt S omfatter BD, fr, og.

Der er to ligeværdige måder at definere grænsen mellem S og grænseovergange af S.

  • Det definerer grænsen til skæringspunktet S mellem lukningen af ​​S og lukningen af ​​dets komplement.
  • Det definerer grænsen for S sættet af punkter p i X, således at hvert kvarter af p indeholder mindst ét ​​punkt i S og mindst et punkt, der ikke tilhører S.

Ejendom

  • Grænsen for et sæt er lukket.
  • Grænsen af ​​et sæt er lig med skæringspunktet mellem lukningen af ​​sættet og lukningen af ​​dets komplement.
  • Et sæt er lukket hvis og kun hvis grænsen er indeholdt i sættet, og åben, hvis og kun hvis den er adskilt fra sin grænse.
  • Grænsen af ​​et sæt er lig med grænsen for dens komplement.
  • Lukningen af ​​et sæt er lig med foreningen af ​​hele med sin grænse.
  • Grænsen af ​​et sæt er tom, hvis og kun hvis det sæt er både lukkede og åbne.
  • I hvert lukkede sæt er grænsen for et sæt.

Eksempler

  • Overvej den sædvanlige topologi den reelle akse; Hvis derefter det andet.
  • Hvis Ω betegner disken karakteriseret ved ulighed x + y ≤ 1, R har vi ∂Ω = Ω, mens der i R, ∂Ω = {| x + y = 1}. Så kan grænsen af ​​et sæt afhænger af alle, der omgiver.
Forrige artikel Babyer
Næste artikel Bestilt felt

Relaterede artikler