Boltzmann fordeling

I fysik og matematik, Boltzmann fordelingen er en fordelingsfunktion for staterne i et system. Det er en sandsynlighed foranstaltning, der er grundlaget for begrebet kanoniske ensemble, som beskriver fordelingen af ​​stater. Et særligt tilfælde er Maxwell-Boltzmann distribution, bruges til at beskrive hastigheden af ​​partiklerne i gasserne.

Definition

Boltzmann fordeling beskrives fordelingsfunktion for den del af partikler Ni / N besætter en stat med ed energi Ei:

hvor er Boltzmann konstant, T er temperaturen, er antallet af tilstande med energi, N er det totale antal af partiklerne:

og Z kaldes partition funktion, som er givet ved

Alternativt, for et enkelt system ved en veldefineret temperatur, Boltzmann fordelingen er sandsynlighedsfordelingen, at systemet er i en bestemt tilstand.

Boltzmann fordelingen gælder kun for partikler ved en temperatur høj nok tæthed og så lav, at kvantevirkninger kan ignoreres, og partiklerne adlyder Maxwell-Boltzmann statistik. Boltzmann distribution ofte udtrykt i form af β = 1 / kT, hvor β er henvist til termodynamiske beta. Udtrykket, der angiver den relative sandsynlighed, ikke normaliseret, en enkelt stat, hedder Boltzmann faktor og synes ofte i studiet af fysik og kemi.

Når energi er simpelthen den kinetiske energi af partiklen

fordelingen korrekt giver Maxwell-Boltzmann fordeling af molekylære hastigheder af gasserne, opstillet af Maxwell i 1859. Den Boltzmann fordelingen er dog langt mere generelt. For eksempel det også giver mulighed for en variation af densiteten af ​​partiklerne i et gravitationsfelt med højden, hvis. Faktisk fordelingen gælder, når kvantevirkninger kan negligeres.

I nogle tilfælde kan det bruges en tilnærmelse fortsætter. Hvis der er g dE stater med energi E til E + dE, Boltzmann fordelingen forudsiger en sandsynlighedsfordeling for energi:

I denne formel er g defineres som tætheden af ​​stater; dens eksplicitte udtryk afgør om den energi spektrum er kontinuert.

I den klassiske grænse, til en stor værdi på E / kT eller lav tæthed af stater, er Bose-Einstein er Fermi-Dirac er godt estimeres ved hjælp af Boltzmann fordelingen.

Det største problem med statistisk mekanik

I statistisk mekanik en makroskopisk system bestående af N partikler, har 3 N frihedsgrader beskrevet af 3N generaliserede koordinater. Disse frihedsgrader kan være repræsenteret i fase plads i 6 N dimensioner. Tilstanden af ​​et makroskopisk system, er repræsenteret ved et punkt i fase rummet. Når systemets tilstand varierer i tid, repræsentativt punkt i systemet langs en bane i faserummet. Behandle klassisk en makroskopisk system bestående af en række meget store partikler er klart ubrugelige selvom det teoretisk muligt. For at undersøge de makroskopiske systemer med et stort antal partikler gør brug af den statistiske metode, der giver de gennemsnitlige egenskaber af systemet, som gør det muligt at overvinde problemet med det store antal elementer, der indgår heri.

Den statistiske metode er baseret på den grundlæggende forudsætning for lige før sandsynlighed: Ifølge denne antagelse, hvis vi betragter et stort system og en af ​​dens sub makroskopisk mindre, men væsentlige, og vi tager alle små volumener efter behag, i fase rummet af delsystemet og derefter i et tidsinterval tilstrækkeligt langs bane af faserummet, så kompliceret, det vil passere for hver af disse mængder. Grænsen

Det har tendens til en begrænset værdi og repræsenterer sandsynligheden for at observere systemet på et givet tidspunkt kan findes inden for et element af faserummet, hvis det er tidsintervallet, hvor repræsentativt punkt ligger i dette element.

Hvis den del af faserummet er forsvindende:

så kan du introducere sandsynligheden som:

hvor er en funktion af alle koordinater og alle impulser og kaldes tætheden af ​​den statistiske fordeling. Denne tæthed skal naturligvis normaliseret:

Jagten på den mest hensigtsmæssige statistiske fordeling er det største problem af statistisk mekanik. Faktisk kan hver fysisk størrelse f af systemet udledes som en gennemsnitsværdi vægtes med fordelingen passende:

Den statistiske opførsel hver størrelsesorden f er derfor tæt knyttet til distributionen og middelværdien af ​​gaver en udtalt top i korrespondance af toppen.

To delsystemer i et større system kaldes kvasi-isolerede, hvis de eneste interaktioner er overfladeeffekter og er ubetydelige i forhold til det indre energimarked besat af hvert delsystem. I et sådant tilfælde kan du blive betragtet sådanne delsystemer statistisk uafhængige. Dette betyder, at mellem to undersystemer:

og det modsatte er også sandt. Så selv de gennemsnitlige værdier af variabler for hvert delsystem f:

Bemærk, at tætheden er bevaret i faserummet: det kan vises som et sæt af punkter, som hver især repræsenterer en mulig systemets tilstand, som optager en vis mængde i fase rummet selv. For Liouville sætning, at volumen, mens ændret sig over tid til at variere fra qepe tid, forbliver konstant.

Entropi og energi

Vi tager næsten to sub-blokke, der tilhører en meget større system. I dette tilfælde kan vi skrive:

Brugen af ​​logaritmen er hensigtsmæssigt for indførelsen af ​​entropi. Overvej et isoleret system, og opdele systemet i mange delsystemer. Godt vi kan udlede en fordelingsfunktion enkel at beskrive egenskaberne af et system. Både antallet af tilstande af delsystemer, så en fordelingsfunktion:

i virkeligheden den eneste parameter, der kan betragtes som konstant inden delsystemerne er energien og Dirac delta funktion forklarer typen af ​​toppen af ​​denne fordeling omkring en given værdi tildelt til den energi, mens det er indlysende, at en sådan fordeling vægtes med det faktum, at systemet er i en af ​​staterne. For hver værdi kan vi beregne funktionen distribution. Vi kan bestemme sandsynligheden for, at delsystemet Energi er inden for rækkevidde. Du skal blot formere fordelingen for antallet af stater med energi i denne tilstand:

med normalisering stand:

Det besidder et maksimum ved anerkendelse middelværdien af ​​energien. Vi skal huske på er, at antallet af stater, der er kompatible med de begrænsninger af den mikroskopiske systemet, i dette tilfælde med energi. Det har en direkte sammenhæng med mængden af ​​fase plads:

Men kun i diskussionen af ​​kvante statistisk mekanik. Den pålægger en grænse mellem kvantemekanik og klassisk, bestemmes af Plancks konstant h. Logaritmen til denne funktion:

Det opfordrede entropi af systemet korrekt i kvante sagen. Erstatte:

og på denne måde er det en dimensionsløs mængde. Desuden entropi er en mængde altid positiv og tilsætningsstof. I den klassiske tilfælde defineres op til en additiv konstant, mens der i kvante tilfælde nej.

Forrige artikel British Mycological Society
Næste artikel Belvedere Spinello