Aritmetikkens Fundamentalsætning

Den Aritmetikkens Fundamentalsætning hedder det

Opgørelsen er let verificeres for naturlige tal "små": det er let at finde, at 70 er 2 × 5 × 7 og 100 er 2 × 2 × 5 × 5 × 2 eller 5, er det lige så let at kontrollere, at disse tal der kan ikke være nogen andre decompositions i primfaktorer.

Sætningen blev bevist for første gang udtrykkeligt af Gauss i Disquisitiones Arithmeticae; Euclid, i Elements sammen med eksistensen af ​​faktorisering, havde vist en proposition, nu kendt som Euklids lemma, som producerer den unikke faktorisering ejendom.

I ring teori, gyldigheden af ​​ejendommen udtrykt af sætningen er selve definitionen på ring unik faktorisering.

Bevis for sætning

Opgørelsen af ​​sætningen hævder eksistensen af ​​en førsteklasses faktorisering for hvert naturligt tal, og derefter sin egenart. Vi demonstrerer hver for de to udsagn.

Demonstration af

Fra definitionen af ​​primtal er det klart, at et vilkårligt antal større end eller lig med 2 eller er et primtal eller kan udtrykkes som et produkt af primtal. Dette faktum kan påvises ved induktion:

  • n = 2 er først, derefter møder erklæring.
  • Antages redegørelsen gælder for alle tal fra 2 til n, viser vi, at er også sandt for n + 1. For n + 1 er der to muligheder: enten den første eller er deleligt med et tal mellem 2 og n. I det tilfælde, hvor n + 1 er delelig med en for den induktive hypotese eller er den første eller en har en fremragende divisor s. I sidstnævnte tilfælde p er også en divisor af n + 1. Under alle omstændigheder, hvis ikke, n + 1 er den første eller er deleligt med en prime.

Beviset for eksistensen af ​​faktorisering for hvert nummer går endnu til induktion:

  • n = 2 er den første og er derfor allerede indregnet trivielt.
  • Antag den virkelige foreligger en faktorisering for alle naturlige mellem 2 en-dimostriamola sandt for n + 1. Ud fra følgende betragtninger n + 1, har vi to tilfælde: n + 1 er et primtal eller n + 1 er deleligt med en førsteklasses p; i sidstnævnte tilfælde antallet m = / p er mindre end n + 1, og derefter verificerer induktive hypotese, at der er en faktorisering m. Men så n + 1 = mp dvs n + 1 er indregnet.

Så eksistensen af ​​en faktorisering demonstreres for hvert naturligt tal n.

Demonstration af entydighed

Vi viser, at hvis en række indrømmer en førsteklasses faktorisering dette er unik.

Ved modsigelse: Antag at der er tallene opdelt i primfaktorer i mere end én måde, og det hedder m de mindste. For det første viser, at i betragtning to factorizations m, de primtal, der vises i den første faktorisering er alle forskellige fra dem i den anden faktorisering. Og er i virkeligheden to forskellige factorizations m

hvor I og I er de første, men forskellige fra hinanden, dvs.. Inden for hver faktorisering der kan stadig være gentagne faktorer: for eksempel 100 = 2 × 2 × 5 × 5.

På dette punkt har vi ved, der er forskellig fra; uden tab af generalitet kan vi antage,. Derefter sætter vi

Åbenbart ,, er det givet, der kan skrives som

Vi har nu bevise, at indrømmer mindst to forskellige factorizations.

Vi begynder med at overveje den første faktor,. Det kan være prime eller ej; hvis det ikke var for fattorizzeremo og den nye factoring således opnåede han ikke ville tillade en af ​​sine faktorer. Faktisk for den første del af beviset, vi kender som er forskellig fra og må ikke være i enhver faktorisering, for hvis dette skulle ske ville betyde, at

og derfor ville det være deleligt med, hvilket ikke er muligt, da det er et primtal.

Nu tager den sidste lige erstatte med get

På den måde er det indregnet i anden faktor, vil vi have opnået en faktorisering, der indeholder, og at det derfor er forskellig fra den i modsætning til den hypotese, at det er det mindste antal, der indrømmer, mere end en faktorisering.

Det unikke er således etableret.

Forrige artikel Abu Hassan
Næste artikel Aci Catena