Affine geometri

I matematik er affine geometri er den geometri, der studerer affine rum. Hovedsagelig disse emner af euklidisk geometri, der kan udvikles uden brug af begreberne vinkel måling og forholdet mellem de to segmenter ikke er parallelle. Det indtager en plads mellemliggende mellem euklidiske geometri og Projektiv geometri; i sidstnævnte tilfælde også begrebet parallelitet taber betyder. Hans undersøgelse gør udstrakt brug af lineær algebra.

Affine rum

Intuitivt, en affin plads er et objekt svarende til et vektorrum der ikke har nogen "foretrukne stedet".

En affin plads er et sæt E af objekter nævnte punkter, således at i hvert ordnet par af punkter er forbundet med en vektor φ af et givet vektorrum V. I definitionen er der ingen begrænsninger på banen forbundet med rummet V, som kan være for eksempel hvad de reelle tal eller komplekse.

Den funktion, der kort til to punkter en carrier skal opfylde nogle aksiomer, som sikrer, at der på ethvert punkt p fastsat som oprindelsen af ​​rummet, de vektorer φ at variere fra q danner et vektorrum isomorf til V. mere abstrakt, en affin rum er et G-torsore; kun hvis du vælger et punkt så bliver det et vektorrum.


Affine transformationer

En affin transformation mellem to affine rum er sammensætningen af ​​en oversættelse og en lineær transformation: det giver mening efter fastsættelse et punkt p som kilde. Billedet af en affin underrum gennem denne transformation er altid en affin underrum. I det tilfælde, hvor transformationen er en isomorfi, er dimensionen af ​​underrummet bevaret.

Ejendom

I en affin plads, kan underrum ikke skærer hinanden. For eksempel i det tredimensionale affin plads der er lige og parallelle planer. Af denne grund er det formlen for Grassmann.

Den affine geometri ligger mellem geometrien af ​​vektorrum og projektive: i et vektorrum underrum er tvunget til at passere gennem nulpunktet. Den affine rum er derefter bygget til at afhjælpe denne mangel unaturligt, men på denne måde er tabt Grassmann formel, og i mange problemer forlænger liste over sager at overveje: to rette linjer kan være ulykker, koplanare, den skæve ... Projektiv rummet igen fjerner fænomener af parallelitet ved at tilføje "nye punkter på uendelig", uden at genskabe en "udsigtspunkt". For eksempel en plan, der går gennem nulpunktet og en ret linje parallelt dermed generere en plads sum, som er et plan parallelt med det første indeholder den rette linje, der har dimensionen 2 3 ikke som det skal ifølge formlen for Grassmann.

Applikationer

Den affine rum bruges i den klassiske fysik som en model tre-dimensionelle rum, vi lever i. Denne model er imidlertid ikke tilfredsstillende for model plads til at forklare visse fænomener, der er udviklet på store skalaer, fænomener, der er undersøgt i den relativistiske fysik.

Forrige artikel Acipenserinae
Næste artikel Antonio Attanasio